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圆锥曲线简化模型

2023-03-08

硬算也不是不可以。

等效判别式

原理

{x2m+y2n=1Ax+By+C=0Δ=(A2m+B2nC2)Δ=4mnB2Δ
TIP

对于双曲线 x2a2y2b2=1,将 n 视作 b2

x24+y23=1y=kx+2 有两个交点,求 k 的范围。

解:

{x24+y23=1kxy+2=0m=4n=3A2=k2B2=1C2=4Δ=(4k2+34)>0k2>14k<12  k>12

简化二次恒等式

原理

{b2x2+a2y2a2b2=0Ax+By+C=0(a2A2+b2B2)x2+(2a2AC)x+(a2C2a2b2B2)=0
TIP

二倍爬山放中间,

直线平方交叉乘。

[b2a2a2b2×1×2ABC](×12+)x2+(2)x+(×22+)=0

{x2+4y24=0kxy+3k=0[144k13k](4k2+1)x2+(83k2)x+(12k24)=0

简化韦达定理

原理

{αx2+βy2=γAx+By+C=0ϵ=αB2+βA2x1+x2=2CβAϵ,y1+y2=2CαBϵx1x2=βC2γB2ϵ,y1y2=αC2γA2ϵx1y2+x2y1=2γABϵ
TIP
[αβγ×1×2ABC]x1+x2=2C1×12+,y1+y2=2C1×12+x1x2=×22×12+,y1y2=×122×12+x1y2+x2y1=266×12+

x24+y23=1y=kx+2 有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2)

{3x2+4y2=12kxy+2=0[3412k12]ϵ=3×(1)2+4×k2=3+4k2x1+x2=2×2×4×k3+4k2=16k3+4k2x1x2=4×2212×(1)23+4k2=43+4k2x1y2+x2y1=2×12×k×(1)3+4k2=24k3+4k2

弦长公式

{x2m+y2n=1Ax+By+C=0

弦长长度为

2mn(A2+B2)(mA2+nB2C2)mA2+nB2
TIP

马牛(mn)逼,装大方(A2+B2

组团上街耍流氓(mA2+nB2C2

露完上面露下面(mA2+nB2

见人就递两根烟(2