伴侣点

定义

对椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +$ $\frac{y^{2}}{b^{2}} =$ $1$ ，若 $x$ 轴的点 $M,$ $N$ 满足 $x_{M} \cdot x_{N} =$ $a^{2}$ ，则 $M,$ $N$ 互为伴侣点。

TIP

若 $M,$ $N$ 在 $y$ 轴，则应满足 $y_{M} \cdot y_{N} =$ $b^{2}$ 。

过其中任意一个伴侣点作弦 $C D$ ，均可产生等角。


$M,$ $N$ 为伴侣点 $\Rightarrow k_{C N} +$ $k_{D N} =$ $0$	$M,$ $N$ 为伴侣点 $\Rightarrow k_{C M} +$ $k_{D M} =$ $0$

证明：设 $C D$ 斜率为 $k$ ，暴力计算求证。

由极点极线方程知识易得 $M,$ $N$ 互极。

\frac{x_{M} x_{N}}{a^{2}} + \frac{y_{M} y_{N}}{b^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2}} = 1

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椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +$ $\frac{y^{2}}{b^{2}} =$ $1$ ， $E (- m,$ $0),$ $F (m,$ $0),$ $Q (\frac{a^{2}}{m},$ $0)$ 。

$y_{M} \cdot y_{N} =$ $b^{2} (1 - \frac{a^{2}}{m^{2}})$
$k_{B M} \cdot k_{B N} =$ $\frac{m - a}{m + a} (e^{2} -$ $1)$
$k_{E M} \cdot k_{F N} =$ $\frac{- b^{2}}{m^{2} + a^{2}}$
$\vec{E M} \cdot \vec{F N} =$ $\frac{(a^{2} - m^{2}) (a^{2} + m^{2} - b^{2})}{m^{2}}$
$\vec{F M} \cdot \vec{F N} =$ $\frac{(a^{2} - m^{2}) (a^{2} - m^{2} + b^{2})}{m^{2}}$
$\vec{A N} \cdot \vec{B M} =$ $\frac{(a^{2} - m^{2}) (a^{2} - b^{2})}{m^{2}}$
$\vec{F N} \cdot \vec{B M} =$ $\frac{(a^{2} - m^{2}) (a^{2} + a m - b^{2})}{m^{2}}$

统一的证明方法：设 $P$ 坐标，暴力计算求证。

TIP

明白是定值就够了。

对于双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} -$ $\frac{y^{2}}{b^{2}} =$ $1$ ， $M,$ $N$ 为伴侣点 $\Rightarrow x_{M} \cdot x_{N} =$ $a^{2}$ 。

对于抛物线 $y^{2} =$ $2 p x$ ， $M,$ $N$ 为伴侣点 $\Rightarrow x_{M} +$ $x_{N} =$ $0$ 。