为什么补码长成这个样

即答：想用加法的逻辑处理减法。

加法器的逻辑门电路易于设计、效率高。如果能把减法转换为加法，那么加减法就都能通过加法器进行，不需要额外设计减法器，能进一步简化芯片的设计。

具体怎么转换呢？

这句废话文学是补码的根本原理。

补码充分体现了什么叫作「bug 用得好就是特性」。

计算机中，储存数据的容器有一个重要的特性：溢出。

这是一个四位二进制数的容器，每格只能存 $0$ 或 $1$，最多只能存到 $(15)_{10}=(1111)_2$。

$$\boxed{1} \ \boxed{1} \ \boxed{1} \ \boxed{1}$$

当把 $(10010)_2$ 存入该容器时，最高位的 $1$ 会被扔掉，储存的结果变成了 $(10)_2$，相当于减少了 $\color{red}(10000)_2$。

$$ \cancel 1 \ \boxed{0} \ \boxed{0} \ \boxed{1} \ \boxed{0} \ \color{transparent}{\cancel 1}$$

这导致，在长度为 $4$ 的容器中，$(10001)_2\Longrightarrow(1)_2$，$(10010)_2\Longrightarrow(10)_2$，$\cdots$

在固定长度的容器中作加法，常常会因为 溢出 而出现「越加越小」的情况。

还是拿长度 $4$ 的容器举例：

$$(1001)_2+{\color{green}(1110)_2}=(10111)_2\Longrightarrow (111)_2$$

而我们又知道 $$(1001)_2+{\color{blue}(-110)_2}=(111)_2\color{transparent}\Longrightarrow (10111)_2$$

容易看出，在该容器中，加负数 ${\color{blue}(-110)_2}$ 跟加正数 ${\color{green}(1110)_2}$ 是一回事。可以认为 ${\color{blue}(-110)_2}$ 和 ${\color{green}(1110)_2}$ 等价。

有没有一种系统的方法，给出负数，就能算出等价的正数？

检验：把 $x={\color{blue}(110)_2}$ 代入，解得 $y={\color{green}(1110)_2}$。

进一步说，对于长度为 $m$ 的容器，有

$$y=(1\underset{m \times 0}{\underbrace{00\cdots0}})_2-x$$

尴尬的地方来了：计算 $x$ 所用的还是减法。

不过仔细一看，被减数都是 $(100\cdots0)_2$ 这样的。这类减法其实也就是找找规律的事。

容易发现，对一个四位二进制数 $x$，其各位取反的结果记为 $\sim x$，则

$$x+\sim x=(1111)_2$$

例如 $$(0110)_2+(1001)_2=(1111)_2$$

这 $(1111)_2$，再加上 $1$，恰好就等于 $(10000)_2$。也就是说

$$x+\sim x+1=(10000)_2$$

因此 $$y=(10000)_2-x=\sim x+1$$

进一步说，对任意定长的容器而言，都有 $y=\sim x+1$

实际上，我们往往会用容器的第一个格子表示符号，$0$ 表示正数，$1$ 表示负数，例如

$${\color{red}\boxed{1}} \ \boxed{1} \ \boxed{0} \ \boxed{1} \ \boxed{0}$$

表示 $(-1010)_2$。

因此上述的取反操作显然不能把符号位涵盖进去。

到此为止，我们终于可以流畅爽滑地定义所谓「补码」：

计算 $a-b$ 时，直接把 $a$ 和 $-b$ 的补码相加即可。