速度增量法

质量 $m_1$，速度 $v_1$ 的小球与质量 $m_2$，速度 $v_2$ 的小球弹性碰撞，无动能损失，则碰后速度 $v_1’,v_2’$ 满足

$$\begin{gather} v_1+v_1'=2v_{共}\\ v_2+v_2'=2v_{共}\\ v_{共}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} \end{gather}$$

简记为

$$\xymatrix@C=2em@R=.5em{ v_1\ar@{-}[dr] & & v_2'\\ & v_{共}\ar@{-}[dr]\ar@{-}[ur] & \\ v_2\ar@{-}[ur] & & v_1' }$$

• 出现负值表示反向.
• 若可能存在动能损失，碰后实际速度 $v_{1实}\in[v_{共},v_1’],v_{2实}\in[v_{共},v_2’]$.

由动量定理和动能定理得

$$\begin{gather*} &m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\tag{1}\\ &\disp\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2\tag{2} \end{gather*}$$

由 $(1)$ 得

$$m_1(v_1-v_1')=-m_2(v_2-v_2')\tag{3}$$

由 $(2)$ 得

$$\begin{gather} m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v_1'^2+m_2v_2'^2\\ m_1(v_1^2-v_1'^2)+m_2(v_2^2-v_2'^2)=0\\ m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1')+m_2(v_2-v_2')(v_2+v_2')=0 \end{gather}$$

将 $(3)$ 代入

$$\begin{align*} v_1+v_1'=v_2+v_2'\\ v_2'=v_1+v_1'-v_2\tag{4} \end{align*}$$

将 $(4)$ 代入 $(1)$

$$\begin{gather} m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2(v_1+v_1'-v_2)\\ (m_1+m_2)v_1'=v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2\\ v_1'=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2} \end{gather}$$

同理

$$v_2'=\frac{v_1(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}$$

从初态到共速：

$$\Delta v_1=v_{共}-v_1=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-v_1=\frac{m_2(v_2-v_1)}{m_1+m_2}\\ \Delta v_2=v_{共}-v_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}-v_2=\frac{m_1(v_1-v_2)}{m_1+m_2}$$

从共速到末态：

$$\Delta v_1'=v_1'-v_{共}=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2}-\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_2(v_2-v_1)}{m_1+m_2}\\ \Delta v_2'=v_2'-v_{共}=\frac{v_1(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}-\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1(v_1-v_2)}{m_1+m_2}$$

即

$$\Delta v_1=\Delta v_1'\\ \Delta v_2=\Delta v_2'$$

两阶段速度增量相等. $v_{共}$ 是两小球的平均速度.

$$v_1+v_1'=2v_{共}\\ v_2+v_2'=2v_{共}$$

即证.

质量为 $m$，速度为 $v$ 的 $A$ 球和质量为 $3m$ 的静止 $B$ 球发生正碰，可能存在动能损失，碰后 $B$ 球的速度大小可能为

$$A.\ 0.6v\qquad B.\ 0.4v\qquad C.\ 0.3v\qquad D.\ 0.2v$$

解

$v_{共}=\frac{mv+0}{m+3m}=0.25v$.

$$\xymatrix@C=1em@R=1em{ \textcolor{transparent}{0.}v\textcolor{transparent}{5}\ar@{-}[dr] & & 0.5v\\ & 0.25v\ar@{-}[dr]\ar@{-}[ur] & \\ \textcolor{transparent}{0.}0\textcolor{transparent}{5}\ar@{-}[ur] & & -0.5v }$$

$v_{B实}\in[0.25v,0.5v]$. 选 $BC$.