皮亚诺公理

皮亚诺公理（自然数公理）定义了一种形如「单向链表」的数数方法。

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 2\ar[r] & 3\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

为了在公理系统中严谨地使用「自然数」，数学家朱塞佩 · 皮亚诺（Giuseppe Peano）提出了五条公理。

自然数的起点诞生了。

自然数的雏形有了，大概长这样：

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 2\ar[r] & 3\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

但也有可能长这样：

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 1\ar[r] & 4\ar[r] & 5\ar[r] & 1\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

还可能长这样：

$$\xymatrix { 0\ar@/^/[r] & 1\ar@/^/[d] \\ 3\ar@/^/[u] & 2\ar@/^/[l] }$$

公理三直接排除了如下情况：

同时也说明了 $0$ 必须是第一个自然数。但是还可能长成这种造型：

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 2\ar@/^1.5pc/[rr] & 3\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

公理四排除了如下情况：

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 1\ar[r] & 4\ar[r] & 5\ar[r] & 1\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 2\ar@/^1.5pc/[rr] & 3\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

自然数完美了吗？——并没有。还有一种情况：

$$\xymatrix { 0\ar[r] &0.5\ar[r] &0.99\ar[r] &1\ar[r] &2\ar[r] &e\ar[r] & 3\ar[r] & \cdots }$$

这种情况同时满足公理一到四。

公理五其实就是「数学归纳法」。

举个例子，对于命题形式 $A(n): n^2 \geq n$，容易证明 $A(0)$ 成立，且 $A(n)\Rightarrow A(sn)$. 由于 $0.5,0.8$ 等数不符合这个命题形式，因而如下情况被排除：

$$\xymatrix { 0\ar[r] &0.1\ar[r] &0.2\ar[r] &0.3\ar[r] &1\ar[r] & 2\ar[r] & \cdots }$$

同理，我们可以把 $1.5,e,\pi$ 这类数统统从自然数中剔除。这样就得到了一个完美的自然数系统。

$$\xymatrix { 0\ar[r] & 1\ar[r] & 2\ar[r] & 3\ar[r] & 4\ar[r] & \cdots }$$

挖坑

看似完美的皮亚诺公理，其实潜藏着一个数学危机。德国数学家哥德尔首先发现了这个危机，并进一步提出了哥德尔不完备性定理。