N1 互换

$a_n=\frac{b}{(kn+p)(kn+q)}$. 若 $a_n$ 满足

• $(kn+p)(kn+q)=0$ 的两根 $n_1-n_2=1$.
• 大根 $n_1$ 所在的位置是 $(kn+p)$，即 $kn_1+p=0$.

则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为

$$S_n=\frac{bn}{(k+p)(kn+q)}$$

若 $n_1-n_2\not=1$ 则不可使用 N1 互换.

$a_n$ 为等差数列，则 $\frac{1}{a_na_{n+1}}$ 的前 $n$ 项和为

$$S_n=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$$

容易证明同 表述 1 等价.

$$\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\cdot\frac{a_{n+1}-a_n}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\\ \begin{aligned} S_n&=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\\ &=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\\ &=\frac{1}{d}\cdot\frac{a_{n+1}-a_1}{a_1a_{n+1}}\\ &=\frac{n}{a_1a_{n+1}} \end{aligned}$$

已知 $a_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$，则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\underline{\textcolor{transparent}{whatthefuck}}$.

常规解法

1.裂项

$$a_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)$$

2.求和

$$\begin{aligned} S_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)\\ &=\frac{n}{3(2n+3)} \end{aligned}$$

解

令 $(2n+1)(2n+3)=0,n_1-n_2=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=1$，可用 N1 互换.

$$S_n=\frac{n}{(2+1)(2n+3)}=\frac{n}{3(2n+3)}$$

已知 $a_n=\frac{1}{4n^2-1}$，则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\underline{\textcolor{transparent}{whatthefuck}}$.

解

$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.

令 $(2n-1)(2n+1)=0,n_1-n_2=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1$，可用 N1 互换.

$$S_n=\frac{n}{(2-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$$

已知 $a_n=\frac{2}{n(n+1)}$，则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\underline{\textcolor{transparent}{whatthefuck}}$.

解

令 $n(n+1)=0,n_1-n_2=0-(-1)=1$，可用 N1 互换.

$$S_n=\frac{2n}{n+1}$$