不动点法

由 不动点 的定义得

$$Ax_0+B=x_0$$

$$\therefore B=x_0-Ax_0$$

$$\therefore a_n-x_0=A\cdot a_{n-1}+B-x_0=A(a_{n-1}-x_0)$$

$\therefore$ 数列 $\{a_n-x_0\}$ 是公比为 $A$ 的等比数列

由 不动点 的定义得

$$x_0=\frac{Ax_0+B}{Cx_0+D}$$

$$B-Dx_0=Cx_0^2-Ax_0\tag{1}$$

$$Cx_0^2+(D-A)x_0-B=0\tag{2}$$

$\because$ 方程 $(2)$ 仅有一根，故

$$x_0=\dfrac{A-D}{2C}\tag{3}$$

$$\begin{aligned} \therefore a_n-x_0&=\frac{Aa_{n-1}+B}{Ca_{n-1}+D}-\frac{Ca_{n-1}x_0+Dx_0}{Ca_{n-1}+D}\\ &=\frac{(A-Cx_0)a_{n-1}+B-Dx_0}{Ca_{n-1}+D}\\ \end{aligned}$$

代入 $(1)$：

$$\begin{aligned} a_n-x_0&=\frac{(A-Cx_0)a_{n-1}+Cx_0^2-Ax_0}{Ca_{n-1}+D}\\ &=\frac{(a_{n-1}-x_0)(A-Cx_0)}{Ca_{n-1}+D}\\ &=\frac{(a_{n-1}-x_0)(A-Cx_0)}{C(a_{n-1}-x_0)+Cx_0+D}\\ \\ \therefore \frac{1}{a_n-x_0}&=\frac{C(a_{n-1}-x_0)+Cx_0+D}{(a_{n-1}-x_0)(A-Cx_0)}\\ &=\frac{C}{(A-Cx_0)}+\frac{Cx_0+D}{(a_{n-1}-x_0)(A-Cx_0)}\\ \end{aligned}$$

代入 $(2)$：

$$\begin{aligned} \frac{1}{a_n-x_0}&=\frac{C}{\left(\dfrac{A+D}{2}\right)}+\frac{\dfrac{A-D}{2}+D}{(a_{n-1}-x_0)\left(\dfrac{A+D}{2}\right)}\\ &=\frac{2C}{A+D}+\frac{1}{a_{n-1}-x_0} \end{aligned}$$

$\therefore$ 数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n-x_0}\right\}$ 是公差为 $\dfrac{2C}{A+D}$ 的等差数列.

已知 $a_1=2,a_{n+1}=\dfrac{2a_n-1}{a_n}$，求 $a_n$ 与 $a_1$ 的关系.

解： 解 $x=\dfrac{2x-1}{x}$ 得唯一不动点 $x_0=1$.

$$\therefore\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{\dfrac{2a_{n-1}-1}{a_{n-1}}-1}=\frac{1}{a_{n-1}-1}+1$$

$\therefore$ $\left\{\dfrac{1}{a_n-1}\right\}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列.

$$\therefore \frac{1}{a_n-1}=n$$

$$\therefore a_n=1+\frac{1}{n}$$

由 不动点 的定义得

$$\begin{cases} x_1=\frac{Ax_1+B}{Cx_1+D}\\ \\ x_2=\frac{Ax_2+B}{Cx_2+D} \end{cases} \intro \begin{cases} x_1(Cx_1-A)=B-Dx_1\\ x_2(Cx_2-A)=B-Dx_2 \end{cases}$$

$$\begin{aligned} \therefore a_n-x_1&=\frac{Aa_{n-1}+B}{Ca_{n-1}+D}-x_1\\ \therefore (a_n-x_1)(Ca_{n-1}+D)&=Aa_{n-1}+B-x_1(Ca_{n-1}+D)\\ &=(A-Cx_1)a_{n-1}+B-Dx_1\\ &=(A-Cx_1)a_{n-1}-x_1(A-Cx_1)\\ &=(A-Cx_1)(a_{n-1}-x_1) \end{aligned}$$

即

$$(a_n-x_1)(Ca_{n-1}+D)=(A-Cx_1)(a_{n-1}-x_1)$$

同理可得

$$(a_n-x_2)(Ca_{n-1}+D)=(A-Cx_2)(a_{n-1}-x_2)$$

$$\begin{aligned} \therefore \frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=\frac{A-Cx_1}{A-Cx_2}\cdot\frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-2}-x_2} \end{aligned}$$

$\therefore$ 数列 $\left\{\dfrac{a_n-x_1}{a_n-x_2}\right\}$ 是公比为 $\dfrac{A-Cx_1}{A-Cx_2}$ 的等比数列.

已知 $a_{n+1}=\dfrac{2a_n}{a_n+1}$，求 $a_n$ 与 $a_1$ 的关系.

解： 解 $x=\dfrac{2x}{x+1}$ 得两个相异的不动点 $x_1=0,x_2=1$.

$$\therefore\frac{a_n-0}{a_n-1}=\frac{\cfrac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+1}-0}{\cfrac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+1}-1}=2\frac{a_{n-1}-0}{a_{n-1}-1}$$

$\therefore$ $\left\{\dfrac{a_n}{a_n-1}\right\}$ 是首项为 $\dfrac{a_1}{a_1-1}$，公比为 $2$ 的等比数列.

$$\therefore \frac{a_n}{a_n-1}=\frac{a_1}{a_1-1}\cdot 2^{n-1}$$

$$\therefore a_n=\frac{2^{n-1}a_1}{(2^{n-1}-1)a_1+1}$$