构造函数

若已知 $f(x)>0$，则构造函数 $F(x)$，使 $F’(x)=\text{某正数}\times f(x)$，利用 $F(x)\uparrow$ 解题. $f(x)<0$ 同理.

已知 $f(x)+f’(x)>0$，$f(0)=1$，求证当 $x\in[0,+\infty)$ 时 $f(x)\geq\frac{1}{e^x}$.

证明

构造 $g(x)=e^xf(x)$，则

$$g’(x)=e^xf(x)+e^xf’(x)=e^x[f(x)+f’(x)]>0$$

$\therefore x\in[0,+\infty)$ 时，$g(x)\uparrow$，$g(x)\geq g(0)$，即 $e^xf(x)\geq e^0f(0)=1$.

$\therefore f(x)\geq \frac{1}{e^x}$. 即证.

• $f’+g’>0\intro F=f+g$
• $f’-g’>0\intro F=f-g$

• $f’g+fg’>0\intro F=fg$
• $f’g-fg’>0\intro F=\frac{f}{g}\big(g\not=0\big)$

• $xf’(x)+nf(x)>0\intro F(x)=x^nf(x)$
• $xf’(x)-nf(x)>0\intro F(x)=\frac{f(x)}{x^n}\big(x\not=0\big)$

• $f’(x)+nf(x)>0\intro F(x)=e^{nx}f(x)$
• $f’(x)-nf(x)>0\intro F(x)=\frac{f(x)}{e^{nx}}$

• $f(x)+f’(x)\tan x>0\intro F(x)=\sin x f(x)$

• $f(x)-f’(x)\tan x>0\intro F(x)=\frac{f(x)}{\sin x}\big(\sin x\not=0\big)$

• $f(x)\tan x+f’(x)>0\intro F(x)=\frac{f(x)}{\cos x}\big(\cos x\not=0\big)$

• $f(x)\tan x-f’(x)>0\intro F(x)=\cos x f(x)$

• $f’(x)+\ln af(x)>0\intro F(x)=a^xf(x)$
• $f’(x)-\ln af(x)>0\intro F(x)=\frac{f(x)}{a^x}$