发布于 2022-1-1

三角函数公式

诱导公式 #

奇变偶不变，符号看象限.

$ \sin{(2k\pi+α)}=\sin{α}$
$ \cos{(2k\pi+α)}=\cos{α}$
$ \tan{(2k\pi+α)}=\tan{α}$

$ \sin{(2k\pi-α)}=-\sin{α}$
$ \cos{(2k\pi-α)}=\cos{α}$
$ \tan{(2k\pi-α)}=-\tan{α}$

$ \sin{(\pi+α)}=-\sin{α}$
$ \cos{(\pi+α)}=-\cos{α}$
$ \tan{(\pi+α)}=\tan{α}$

$ \sin{(\pi-α)}=\sin{α}$
$ \cos{(\pi-α)}=-\cos{α}$
$ \tan{(\pi-α)}=-\tan{α}$

$ \sin{(\frac{\pi}{2}+α)}=\cos{α}$
$ \cos{(\frac{\pi}{2}+α)}=-\sin{α}$
$ \tan{(\frac{\pi}{2}+α)}=-\frac{1}{\tan{α}}$

$ \sin{(\frac{\pi}{2}-α)}=\cos{α}$
$ \cos{(\frac{\pi}{2}-α)}=\sin{α}$
$ \tan{(\frac{\pi}{2}-α)}=\frac{1}{\tan{α}}$

$ \sin{(\frac{3\pi}{2}+α)}=-\cos{α}$
$ \cos{(\frac{3\pi}{2}+α)}=\sin{α}$
$ \tan{(\frac{3\pi}{2}+α)}=-\frac{1}{\tan{α}}$

$ \sin{(\frac{3\pi}{2}-α)}=-\cos{α}$
$ \cos{(\frac{3\pi}{2}-α)}=-\sin{α}$
$ \tan{(\frac{3\pi}{2}-α)}=\frac{1}{\tan{α}}$

$ \sin{(-α)}=-\sin{α}$
$ \cos{(-α)}=\cos{α}$
$ \tan{(-α)}=-\tan{α}$

和差角公式 #

$ \sin{(α+β)}=\sin{α}\cos{β}+\cos{α}\sin{β}$
$ \sin{(α-β)}=\sin{α}\cos{β}-\cos{α}\sin{β}$
$ \cos{(α+β)}=\cos{α}\cos{β}-\sin{α}\sin{β}$
$ \cos{(α-β)}=\cos{α}\cos{β}+\sin{α}\sin{β}$
$ \tan{(α+β)}=\frac{\tan{α}+\tan{β}}{1-\tan{α}\tan{β}}$
$ \tan{(α-β)}=\frac{\tan{α}-\tan{β}}{1+\tan{α}\tan{β}}$

二倍角公式 #

降幂扩角升幂缩角.

$ \sin{2α}=2\sin{α}\cos{α}$
$ \cos{2α}=\cos^2{α}-\sin^2{α}=1-2\sin^2{α}=2\cos^2{α}-1$
$ \tan{2α}=\frac{2\tan{α}}{1-\tan^2{α}}$
$ 1+\sin{2α}=(\sin{α}+\cos{α})^2$
$ 1-\sin{2α}=(\sin{α}-\cos{α})^2$
$ 1+\cos{2α}=2\cos^2{α}$
$ 1-\cos{2α}=2\sin^2{α}$

三倍角公式 #

$ \sin{3α}=3\sin{α}-4\sin^3{α}$
$ \cos{3α}=-3\cos{α}+4\cos^3{α}$
$ \tan{3α}=\frac{3\tan{α}-\tan^3{α}}{1-3\tan^2{α}}=\tan{α}\tan{(\frac{\pi}{3}+α)}\tan{(\frac{\pi}{3}-α)}$

半角公式 #

$ \sin{\frac{α}{2}}=±\sqrt{\frac{1-\cos{α}}{2}}$
$ \cos{\frac{α}{2}}=±\sqrt{\frac{1+\cos{α}}{2}}$
$ \tan{\frac{α}{2}}=\frac{\sin{α}}{1+\cos{α}}=\frac{1-\cos{α}}{\sin{α}}=±\sqrt{\frac{1-\cos{α}}{1+\cos{α}}}$

辅助角公式 #

$$a\sin{θ}+b\cos{θ}=\sqrt{a^2+b^2}\;\cdot \sin{(θ+φ)}$$

其中 $ \sin{φ}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\cos{φ}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\tan{φ}=\frac{b}{a}$.

万能公式 #

$\sin{α}=\frac{2\tan{\large\frac{α}{2}}}{1+\tan^2{\large\frac{α}{2}}}$
$\cos{α}=\frac{1-\tan^2{\large\frac{α}{2}}}{1+\tan^2{\large\frac{α}{2}}}$
$\tan{α}=\frac{2\tan{\large\frac{α}{2}}}{1-\tan^2{\large\frac{α}{2}}}$

和差化积 #

$ \sin{α}+\sin{β}=2\sin{\frac{α+β}{2}}\cos{\frac{α-β}{2}}$
$ \sin{α}-\sin{β}=2\sin{\frac{α-β}{2}}\cos{\frac{α+β}{2}}$
$ \cos{α}+\cos{β}=2\cos{\frac{α+β}{2}}\cos{\frac{α-β}{2}}$
$ \cos{α}-\cos{β}=-2\sin{\frac{α+β}{2}}\sin{\frac{α-β}{2}}$
$ \tan{α}+\tan{β}=\frac{\sin(α+β)}{\cos{α}\cos{β}}$
$ \tan{α}-\tan{β}=\frac{\sin(α-β)}{\cos{α}\cos{β}}$

积化和差 #

$ \sin{α}\cos{β}=\frac{1}{2}[\sin{(α+β)}+\sin{(α-β)}]$
$ \cos{α}\sin{β}=\frac{1}{2}[\sin{(α+β)}-\sin{(α-β)}]$
$ \cos{α}\cos{β}=\frac{1}{2}[\cos{(α+β)}+\cos{(α-β)}]$
$ \sin{α}\sin{β}=-\frac{1}{2}[\cos{(α+β)}-\cos{(α-β)}]$

正弦定理 #

$$ \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$$

其中 $R$ 为 $ΔABC$ 外接圆半径.

余弦定理 #

$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$
$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}$
$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{B}$

三角形面积公式 #

$ S_{ΔABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$
$ S_{ΔABC}=\frac{1}{2}ab\sin{C}=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ac\sin{B}$
$ S_{ΔABC}=\frac{abc}{4R}$（$R$ 为 $ΔABC$ 外接圆半径）
$ S_{ΔABC}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$（$r$ 为 $ΔABC$ 内接圆半径）
$ S_{ΔABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\frac{a+b+c}{2}$

其它公式 #

$ \sin^2{θ}+\cos^2{θ}=1$
$ 1+\tan^2{θ}=\frac{1}{\cos^2{θ}}$
$ 1+\frac{1}{\tan^2{θ}}=\frac{1}{\sin^2{θ}}$
$ \tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}$（$ΔABC$ 非 $Rt$ 三角形）
$ \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}$（在 $ΔABC$ 中）
$ \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}$（在 $ΔABC$ 中）