立体几何
常用的立体几何结论。
基本公式 #
| 体积 | 表面积 | |
|---|---|---|
| 柱体 | $V=Sh$ | $S=2\pi r(r+l)$ |
| 锥体 | $V=\frac{1}{3}Sh$ | $S=\pi r(r+l)$ |
| 台体 | $V=\frac{1}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)h$ | $S=\pi[r^2+R^2+l(r+R)]$ |
法向量 #
交点倒数法 #
平面过 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$，则法向量为 $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$。
平面平行于 $x$ 轴，且过 $(0,b,0),(0,0,c)$，则法向量为 $\left(0,\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$。
tip
坐标系可应用平移变换。
捺撇法 #
$\vec{PA}=(x_1,y_1,z_1),\vec{PB}=(x_2,y_2,z_2)$，平面 $PAB$ 法向量表示为：
$$\xymatrix@C=2em@R=2em { x_1 & y_1\ar@{-}[dr] & z_1\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr] & x_1\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr] & y_1\ar@{-}[dl] & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 & y_2 & z_2 }$$
$$(y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)$$
tip
- 向量并排写两遍
- 掐头去尾取中间
- 交叉相乘再相减
三垂线定理 #
设 $m\in\alpha$，$n$ 在 $\alpha$ 上的投影为 $n'$
$$m\bot n’\eq m\bot n$$
tip
垂影必垂斜，垂斜必垂影。
三余弦定理 #
$OH$ 是 $OA$ 在平面 $BOC$ 上的投影。
$$\cos\angle AOC = \cos\angle AOB \cdot \cos\angle BOC$$
三正弦定理 #
$α$ 是二面角。
$$\sin\beta=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$
四面体体积公式 #
$$V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{\Delta ABD}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot\sin\theta}{AB}$$
证明
$$V=\frac{S_{\Delta ABC}\cdot DO}{3} =\frac{S_{\Delta ABC}\cdot DE\sin\theta}{3} =\frac{S_{\Delta ABC}\cdot DE\cdot AB\sin\theta}{3AB} =\frac{2S_{\Delta ABC}S_{\Delta ABD}\sin\theta}{3AB}$$
空间正弦定理 #
$$\begin{aligned} \\ \\ \\ \frac{aS_A}{\sin A}=\frac{bS_B}{\sin B}=\frac{cS_C}{\sin C} \end{aligned}$$
$S_A=S_{\Delta DBC},A$ 为二面角 $C-DA-B$，以此类推。
证明
由 四面体体积公式 得
$$V=\frac{2S_AS_B\sin C}{3c}=\frac{2S_BS_C\sin A}{3a}=\frac{2S_AS_C\sin B}{3b}$$
上下分别同乘 $S_C,S_A,S_B$
$$\frac{2S_AS_BS_C\sin C}{3cS_C}=\frac{2S_AS_BS_C\sin A}{3aS_A}=\frac{2S_AS_BS_C\sin B}{3bS_B}$$
约去 $\frac{2S_AS_BS_C}{3}$
$$\frac{\sin C}{cS_C}=\frac{\sin A}{aS_A}=\frac{\sin B}{bS_B}$$
取倒数
$$\frac{aS_A}{\sin A}=\frac{bS_B}{\sin B}=\frac{cS_C}{\sin C}$$
祖暅原理 #
quote
幂势既同，则积不容异。
两几何体在任意高处的截面都相等，则其体积也相等。
$$\forall h,S_1(h)=S_2(h)\intro V_1=V_2$$
可以用微积分直观理解。
$$V=\int S(h)\d h$$