平面几何

$(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 距离公式

$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

$(x_0,y_0)$ 到 $Ax+By+C=0$ 距离公式

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

$Ax+By+C_1=0$ 到 $Ax+By+C_2=0$ 距离公式

$$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

过 $A(x_0,y_0)$ 作圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的一条切线，切点为 $B$，切线长为

$$AB=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2}$$

过圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$$l:(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$$

过椭圆（双曲线）$\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$$l:\frac{x_0\cdot x}{a^2}\pm\frac{y_0\cdot y}{b^2}=1$$

过抛物线 $y^2=2px$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为

$$l:y_0\cdot y=p(x_0+x)$$

当 $P$ 不在对应曲线上时，$l$ 表示切点弦方程。

圆 $x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$ 的公共弦方程为

$$l:(A_1-A_2)x+(B_1-B_2)y+(C_1-C_2)=0$$

$$PF=\frac{b^2}{a-c\cos\theta}=\frac{\disp\frac{b^2}{a}}{1-e\cos\theta}$$

证明

由余弦定理得

$$r^2+(2c)^2-2\cdot r\cdot 2c\cos\theta=(2a-r)^2$$

$$c^2-cr\cos\theta=a^2-ar$$

$$r=\frac{b^2}{a-c\cos\theta}$$

双曲线同理。

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 焦点为 $F_1,F_2$，其上有一点 $P$。焦点三角形面积为

$$S_{\Delta PF_1F_2}=b^2\tan\frac{P}{2}$$

对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则为

$$S_{\Delta PF_1F_2}=\frac{b^2}{\tan\frac{P}{2}}$$

证明

记 $PF_1=m,PF_2=n$，则 $m+n=2a$。

在 $\Delta PF_1F_2$ 中，根据余弦定理

$$\begin{aligned} & m^2 + n^2 - 2mn\cos P = |F_1F_2|^2 \\ \intro \ & (m+n)^2 - 2mn(1 + \cos P) = 4c ^2 \\ \intro \ & mn = \frac{2b^2}{1 + \cos P} \end{aligned}$$

$$S_{\Delta PF_1F_2}=\frac{1}{2}mn\sin P=b^2\frac{\sin P}{1 + \cos P}=b^2\tan\frac{P}{2}$$

双曲线同理。

$$e=\frac{1}{|\cos\theta|}=\sqrt{1+\tan^2\theta}$$

$$|e\cos\theta|=\left|\frac{\lambda-1}{\lambda+1}\right|$$

其中 $AF=\lambda BF$。

证明

由 焦半径公式 - 夹角式 知

$$AF=\frac{\disp\frac{b^2}{a}}{1-e\cos\theta},BF=\frac{\disp\frac{b^2}{a}}{1+e\cos\theta}$$

$$\lambda=\frac{AF}{BF}=\frac{1+e\cos\theta}{1-e\cos\theta}$$

$$e\cos\theta=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}$$

椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上存在一点 $P$ 满足 $\angle F_1PF_2=\theta$，则离心率 $e$ 满足

$$\cos\theta\ge 1-2e^2$$

证明

当 $P$ 为上顶点时为临界情况。

$$\sin\frac{\theta}{2}=\frac{c}{a}=e$$

$$e^2=\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$$

$$\cos\theta=1-2e^2$$