自极三角形

看上去十分简单。

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定义 #

圆锥曲线任意内接四边形 $ABCD$，其边交点 $M,N$ 和对角线交点 $P$ 构成自极三角形。

$MN$ 是 $P$ 的极线
$MP$ 是 $N$ 的极线
$NP$ 是 $M$ 的极线

证明 #

引理 #

Ceva 定理 #

$\Delta ABC$ 中，$AD,BE,CF$ 共点 $O$。


$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$

证明：

$$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta AOC}}, \frac{CE}{CA}=\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta AOB}}, \frac{AF}{FB}=\frac{S_{\Delta AOC}}{S_{\Delta BOC}}$$

代入即得

$$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$$

Ceva 定理还有角元形式

$$\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\cdot\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}\cdot\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}=1$$

证明过程与边元形式大致相同。

证明过程都是充要的，故 Ceva 定理可逆用。

Pascal 定理 #

二次曲线任意内接六边形的所有对边交点共线。


$P,Q,R$ 共线

证明：

由射影几何知识得，只需要讨论圆，其余二次曲线可由圆推广。

$P,Q,R$ 共线 $\eq PQ,BC,EF$ 共点。

在 $\Delta ADQ$ 中，由 Ceva 定理得

$$\frac{\sin\angle 1}{\sin\angle 2}\cdot\frac{\sin\angle 3}{\sin\angle 4}\cdot\frac{\sin\angle 5}{\sin\angle 6}=1$$

由圆周角定理得

$$\angle n=\angle n’\quad(n=1,2,3,4,5,6)$$

故在 $\Delta CFQ$ 中有

$$\frac{\sin\angle 1’}{\sin\angle 2’}\cdot\frac{\sin\angle 3’}{\sin\angle 4’}\cdot\frac{\sin\angle 5’}{\sin\angle 6’}=1$$

由 Ceva 定理逆定理得 $PQ,BC,EF$ 共点。即证。

证明 #

移动 Pascal 定理中六个顶点的位置。

当 $B,C$ 和 $E,F$ 重合时，直线 $BC,EF$ 为椭圆的切线。同理，再将 $B,A$ 和 $E,D$ 移动至重合。

结合前两图得：椭圆任意内接四边形（如图）有

$$M,I,P,J \ \text{共线}$$

其中 $I$ 为 $AB$ 极点，$J$ 为 $CD$ 极点。由极点极线方程知识得

$$AB:\frac{x_Ix}{a^2}+\frac{y_Iy}{b^2}=1$$

$$CD:\frac{x_Jx}{a^2}+\frac{y_Jy}{b^2}=1$$

由 $AB,CD$ 交于 $N$，将 $N$ 点坐标代入得

$$\begin{cases} \disp\frac{x_Ix_N}{a^2}+\frac{y_Iy_N}{b^2}=1\\ \disp\frac{x_Jx_N}{a^2}+\frac{y_Jy_N}{b^2}=1 \end{cases}$$

故 $I,J$ 为方程 $\frac{x_Nx}{a^2}+\frac{y_Ny}{b^2}=1$ 的两解，即 $N$ 的极线过 $I,J$。故 $MP$ 为 $N$ 的极线。

同理得 $MN$ 为 $P$ 的极线，$NP$ 为 $M$ 的极线。

证毕。

使用例 #

例 1 #

$P(p,0)$ 为定点，$E$ 的运动轨迹为 $P$ 的极线。

$$\frac{px}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\intro x=\frac{a^2}{p}$$

例 2 #

$P(m,n)$ 为定点，$E$ 的运动轨迹为 $P$ 的极线。

$$\frac{mx}{a^2}+\frac{ny}{b^2}=1$$

例 3 #

$Q$ 的运动轨迹为 $P$ 的极线。

设 $P(0,p)$，则 $Q$ 的轨迹方程为

$$\frac{0}{a^2}+\frac{py}{b^2}=1\intro y=\frac{b^2}{p}$$

故

$$\vec{OP}\cdot\vec{OQ}=(0,p)\cdot(x_Q,\frac{b^2}{p})=b^2$$