极点极线方程

极点和极线是双映射关系。

对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，任意一点 $P(x_0,y_0)$ 对应的极线为 $l:\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$。同理，任意直线 $l$ 对应的极点为 $P$。

当极点 $P$ 位于不同的空间位置时，极线 $l$ 的几何意义有所区别。

$l$ 为切线

证明：

$\because\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1,\therefore l$ 过点 $P$。

对于椭圆上任意非 $P$ 点 $(x_0’,y_0’)$ 有

$$\frac{x_0’^2}{a_2}+\frac{y_0’^2}{b^2}=1\not=\frac{x_0x_0’}{a^2}+\frac{y_0y_0’}{b^2}$$

即 $l$ 上有且仅有一点 $P$ 在椭圆上。$l$ 为切线。

$l$ 为切点弦

证明：

设 $AB$ 为切点弦。下证 $A,B$ 在 $l$ 上。

由 $P$ 在椭圆上 得

$$PA:\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1,PB:\frac{x_2x}{a^2}+\frac{y_2y}{b^2}=1$$

将 $P(x_0,y_0)$ 分别代入

$$\begin{cases} \disp\frac{x_1x_0}{a^2}+\frac{y_1y_0}{b^2}=1\\ \disp\frac{x_2x_0}{a^2}+\frac{y_2y_0}{b^2}=1 \end{cases}$$

即 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 是方程 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ 的两解，即证 $A,B$ 在 $l$ 上。

过 $l$ 上任意点 $Q$ 作的切点弦必过点 $P$

证明：

由 $P$ 在椭圆外 得

$$AB:\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$$

将 $P(x_0,y_0)$ 代入

$$\frac{x_1x_0}{a^2}+\frac{y_1y_0}{b^2}=1$$

即 $(x_1,y_1)$ 是方程 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ 的一个解，即证 $Q$ 在 $l$ 上。

若 $P$ 的极线过 $Q$，则 $Q$ 的极也过 $P$。此时 $P,Q$ 互极。

本质是表达式

$$\frac{x_Px_Q}{a^2}+\frac{y_Py_Q}{b^2}=1$$

可同时认为是由「将 $Q$ 代入 $P$ 的极线」或「将 $P$ 代入 $Q$ 的极线」产生。

对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 和极点 $P(x_0,y_0)$，极线方程为 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$。

对于抛物线 $y^2=2px$ 和极点 $P(x_0,y_0)$，极线方程为 $y_0y=p(x_0+x)$。

容易看出，对于一般二次曲线 $Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$ 和极点 $P(x_0,y_0)$，极线方程为

$$Ax_0x+By_0y+C\frac{x_0y+xy_0}{2}+D\frac{x_0+x}{2}+E\frac{y_0+y}{2}+F=0$$

用到了极点极线构造过程中的思想。

以定点 $M$ 为中点的弦 $l$ 的方程为

$l:\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$

证明：

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

联立

$$\begin{cases} \disp\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\\ \disp\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1 \end{cases}$$

得

$$\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0$$

$$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2}=0$$

$$\frac{2x_0\Delta x}{a^2}+\frac{2y_0\Delta y}{b^2}=0$$

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{x_0b^2}{y_0a^2}$$

$$AB:y-y_0=k(x-x_0)\eq \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$$

$l$ 过定点 $P$，弦 $l$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为

$M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}$

证明：

由 中点弦 得

$$l:\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$$

由 $l$ 过点 $P(x_0,y_0)$，代入 $P$ 得

$$l:\frac{x_1x_0}{a^2}+\frac{y_1y_0}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$$

即认为对于 $M(x,y)$，始终有

$$\frac{x\cdot x_0}{a^2}+\frac{y\cdot y_0}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$

成立。即证。