圆锥曲线简化模型
硬算也不是不可以。
等效判别式 #
原理 #
$$\begin{cases} \disp\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\newline Ax+By+C=0 \end{cases}$$
$$\Delta’=(A^2m+B^2n-C^2)$$
$$\Delta=4mnB^2\Delta’$$
tip
对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，将 $n$ 视作 $-b^2$。
使用例 #
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 和 $y=kx+2$ 有两个交点，求 $k$ 的范围。
解：
$$\begin{cases} \disp\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\newline kx-y+2=0 \end{cases}$$
$$\begin{matrix} m=4 & n=3 & \newline A^2=k^2 & B^2=1 & C^2=4 \end{matrix}$$
$$\Delta’=(4k^2+3-4)>0$$
$$k^2>\frac{1}{4}$$
$$k<-\frac{1}{2} \ \text{或} \ k>\frac{1}{2}$$
简化二次恒等式 #
原理 #
$$\begin{cases} b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0\newline Ax+By+C=0 \end{cases}$$
$$(a^2A^2+b^2B^2)x^2+(2a^2AC)x+(a^2C^2-a^2b^2B^2)=0$$
tip
二倍爬山放中间，
直线平方交叉乘。
$$\left[ \begin{matrix} b^2 & & a^2 & & -a^2b^2 \newline & \large\times_1 & & \large\times_2 & \newline A & & B & & C \end{matrix} \right]$$
$$({\large\times_{1^2}^+})x^2+(2\diagup\!\diagdown)x+({\large\times_{2^2}^+})=0$$
使用例 #
$$\begin{cases} x^2+4y^2-4=0\newline kx-y+\sqrt{3}k=0 \end{cases}$$
$$\left[ \begin{matrix} 1 & 4 & -4 \newline k & -1 & \sqrt{3}k \end{matrix} \right]$$
$$(4k^2+1)x^2+(8\sqrt{3}k^2)x+(12k^2-4)=0$$
简化韦达定理 #
原理 #
$$\begin{cases} \alpha x^2+\beta y^2=\gamma\newline Ax+By+C=0 \end{cases}$$
$$\epsilon=\alpha B^2+\beta A^2$$
$$x_1+x_2=\frac{-2C\cdot\beta A}{\epsilon},y_1+y_2=\frac{-2C\cdot\alpha B}{\epsilon}$$
$$x_1x_2=\frac{\beta C^2-\gamma B^2}{\epsilon},y_1y_2=\frac{\alpha C^2-\gamma A^2}{\epsilon}$$
$$x_1y_2+x_2y_1=\frac{2\gamma AB}{\epsilon}$$
tip
$$\left[ \begin{matrix} \alpha & & \beta & & \gamma \\ & \large\times_1 & & \large\times_2 & \\ A & & B & & C \end{matrix} \right]$$
$$x_1+x_2=\frac{-2C\cdot \diagup_1}{\large\times_{1^2}^+},y_1+y_2=\frac{-2C\cdot \diagdown_1}{\large\times_{1^2}^+}$$
$$x_1x_2=\frac{\large\times_{2^2}^-}{\large\times_{1^2}^+},y_1y_2=\frac{\large\times_{12^2}^-}{\large\times_{1^2}^+}$$
$$x_1y_2+x_2y_1=\frac{2\cdot\underline{\textcolor{transparent}{66}}\diagup}{\large\times_{1^2}^+}$$
使用例 #
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 和 $y=kx+2$ 有两个交点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。
$$\begin{cases} 3x^2+4y^2=12\newline kx-y+2=0 \end{cases}$$
$$\left[ \begin{matrix} 3 & 4 & 12 \newline k & -1 & 2 \end{matrix} \right]$$
$$\epsilon=3\times(-1)^2+4\times k^2=3+4k^2$$
$$x_1+x_2=\frac{-2\times 2 \times 4\times k}{3+4k^2}=\frac{-16k}{3+4k^2}$$
$$x_1x_2=\frac{4\times 2^2-12\times(-1)^2}{3+4k^2}=\frac{4}{3+4k^2}$$
$$x_1y_2+x_2y_1=\frac{2\times 12\times k\times (-1)}{3+4k^2}=\frac{-24k}{3+4k^2}$$
弦长公式 #
$$\begin{cases} \disp\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\newline Ax+By+C=0 \end{cases}$$
弦长长度为
$$\frac{2\sqrt{mn\cdot(A^2+B^2)\cdot(mA^2+nB^2-C^2)}}{mA^2+nB^2}$$
tip
马牛（$mn$）逼，装大方（$A^2+B^2$）
组团上街耍流氓（$mA^2+nB^2-C^2$）
露完上面露下面（$mA^2+nB^2$）
见人就递两根烟（$2\sqrt{*}$）