二项式定理

注意：若无特殊说明，本章涉及的变量皆为正整数.

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{n-i}b^i$$

使用数学归纳法.

设 $n=k$ 时二项式定理成立，考察 $n=k+1$ 时是否也成立：

$$\begin{aligned} &\textcolor{transparent}{=}(a+b)^{k+1}\\ &=(a+b)\cdot(a+b)^k\\ &=a(a+b)^k+b(a+b)^k\\ &=a\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{k-i}b^i+b\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}a^{k-j}b^j\\ &=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a^{k-i+1}b^i+\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}a^{k-j}b^{j+1}&&将 \ a,b \ 乘进去\\ &=a^{k+1}+\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}a^{k-i+1}b^i+\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}a^{k-j}b^{j+1}&&提出 \ i=0 \ 的项\\ &=a^{k+1}+\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}a^{k-i+1}b^i+\sum_{λ=1}^{k+1}\binom{k}{λ-1}a^{k-λ+1}b^λ&&设 \ λ=j+1，代入\\ &=a^{k+1}+\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}a^{k-i+1}b^i+b^{k+1}+\sum_{λ=1}^{k}\binom{k}{λ-1}a^{k-λ+1}b^λ&&提出 \ λ=k+1 \ 的项\\ &=a^{k+1}+b^{k+1}+\sum_{i=1}^k\binom{k+1}{i}a^{k+1-i}b^i&&套用 \ 帕斯卡法则\\ &=\sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i}a^{k+1-i}b^i\\ \end{aligned}$$

∴ 二项式定理满足递推成立关系：

∵ $n=1$ 时 $(a+b)^1=\sum_{i=0}^1\binom{n}{i}a^{n-i}b^i=a+b$ 成立，

∴ 二项式定理在 $n=1$ 之后的任何整数都成立.