端点效应

简介 #

若 $f(x)$ 满足

  • $f(x_0)=0$.
  • $f(x)\geq 0$ 在 $[x_0,+\infty)$ 恒成立.

则 $f’(x_0)\geq 0$. 需要检验充分性.

例 1 #

$f(x)=kx-\sin x,\forall x\in[0,+\infty),f(x)\geq 0$,求 $k$ 的范围.

证

$f’(x)=k-\cos x$.

$\because f(0)=0,f(x)\geq 0$ 在 $[0,+\infty)$ 恒成立,

$\therefore f’(0)=k-1\geq 0\eq k\geq 1$.

充分性检验:

$k\geq 1$ 时,$f’(x)=k-\cos x\geq 0,f(x)\uparrow,f(x)\geq f(0)=0$. 符合题意.

综上 $k\in[1,+\infty)$.

例 2 #

$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}-k(x+\frac{x^3}{3}),\forall x\in(0,1),f(x)>0$,求 $k$ 的范围.

证

$f’(x)=\frac{2}{1-x^2}-k(1+x^2)=\frac{kx^4-k+2}{1-x^2}$.

$\because f(0)=\ln\frac{1+0}{1-0}-0=0,f(x)>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立,

$\therefore f’(0)=2-k\geq 0\eq k\leq 2$.

充分性检验:

$k\leq 2$ 时,$x\in(0,1),f’(x)=\frac{k(x^4-1)+2}{1-x^2}\geq 0,f(x)\uparrow,f(x)>f(0)=0$. 符合题意.

综上 $k\in(-\infty,2]$.