大同小异

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未经严格证明的理论!慎用!

简介 #

若 构造函数 题满足

  • $f’(x)$ 的不等号与 $f(x)$ 的相同.
  • $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的唯一定值.

则答案必为 $(x_0,+\infty)$.

若不等号相反,则必为 $(-\infty,x_0)$.

info

  • $f’(x)$ 和 $f(x)$ 必须移项至不等号左侧,且系数为正.
  • 同一不等式中同时出现 $f’(x)$ 与 $f(x)$,则此不等号应归为 $f’(x)$.
  • 若 $f(x)$ 定义域不为 $\mathbb R$,则答案需调整至定义域内.

原理 #

Under Construction ...

例 1 #

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb R,f(-1)=3,f’(x)<3$,则 $f(x)>3x+6$ 的解集为

$$A.\ (-1,1)\qquad B.\ (-1,+\infty)\qquad C.\ (-\infty,-1)\qquad D.\ \mathbb R$$

常规解法

构造 $g(x)=f(x)-3x-6$,原问题等价于 $g(x)>0$ 的解集.

$g’(x)=f’(x)-3<0,\therefore g(x)\downarrow$.

$\because g(-1)=f(-1)+3-6=0,\therefore g(x)>0$ 时 $x<-1$,选 $C$.

速通解法
  • $f’(x)$ 的不等号为 $<$.
  • $f(x)$ 的不等号为 $>$.
  • $f(-1)=3$ 是唯一定值.

故答案为 $(-\infty,-1)$,选 $C$.

例 2 #

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb R,f(1)=3,f’(x)>2$,则 $f(x)>2x+1$ 的解集为

$$A.\ (-\infty,0)\qquad B.\ (0,+\infty)\qquad C.\ (1,+\infty)\qquad D.\ (-\infty,1)$$

解
  • $f’(x)$ 的不等号为 $>$.
  • $f(x)$ 的不等号为 $>$.
  • $f(1)=3$ 是唯一定值.

故答案为 $(1,+\infty)$,选 $C$.

例 3 #

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb R,f(x)<2f’(x),f(\ln 4)=2$,则 $f(x)<e^{\frac{x}{2}}$ 的解集为 $\underline{\textcolor{transparent}{whatthefuck}}$.

解
  • $f’(x)$ 的不等号为 $>$.
  • $f(x)$ 的不等号为 $<$.
  • $f(\ln 4)=2$ 是唯一定值.

故答案为 $(-\infty,\ln 4)$.

例 4 #

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb R,f(x)>f’(x),y=f(x)+2019$ 为奇函数,则 $f(x)+2019e^x<0$ 的解集为 $\underline{\textcolor{transparent}{whatthefuck}}$.

解

由奇函数性质得,$f(0)+2019=0,\therefore f(0)=-2019$.

  • $f’(x)$ 的不等号为 $<$.
  • $f(x)$ 的不等号为 $<$.
  • $f(0)=-2019$ 是唯一定值.

故答案为 $(0,+\infty)$.

例 5 #

$f(x)$ 定义域为 $\mathbb R,f’(x)-f(x)>0,f(2021)=e^{2021}$,则 $f\left(\frac{1}{3}\ln x\right)<\sqrt[3]{x}$ 的解集为

$$A.\ (e^{6063},+\infty)\qquad B.\ (0,e^{2021})\qquad C.\ (e^{2021},+\infty)\qquad D.\ (0,e^{6063})$$

解

令 $t=\frac{1}{3}\ln x$,则 $x=e^{3t}$,即求 $f(t)<\sqrt[3]{e^{3t}}=e^t$ 的解集.

  • $f’(t)$ 的不等号为 $>$.
  • $f(t)$ 的不等号为 $<$.
  • $f(2021)=e^{2021}$ 是唯一定值.

故 $f(t)<e^t$ 的解集为 $(-\infty,2021)$.

$\therefore\frac{1}{3}\ln x\in(-\infty,2021)$,解得 $x\in(0,e^{6063})$. 选 $D$.