立体几何

常用的立体几何结论。

基本公式 #

体积 表面积
柱体 $V=Sh$ $S=2\pi r(r+l)$
锥体 $V=\frac{1}{3}Sh$ $S=\pi r(r+l)$
台体 $V=\frac{1}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)h$ $S=\pi[r^2+R^2+l(r+R)]$

法向量 #

交点倒数法 #

平面过 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$,则法向量为 $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$。

平面平行于 $x$ 轴,且过 $(0,b,0),(0,0,c)$,则法向量为 $\left(0,\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$。

tip

坐标系可应用平移变换。

捺撇法 #

$\vec{PA}=(x_1,y_1,z_1),\vec{PB}=(x_2,y_2,z_2)$,平面 $PAB$ 法向量表示为:

$$\xymatrix@C=2em@R=2em { x_1 & y_1\ar@{-}[dr] & z_1\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr] & x_1\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr] & y_1\ar@{-}[dl] & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & x_2 & y_2 & z_2 }$$

$$(y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)$$

tip

  1. 向量并排写两遍
  2. 掐头去尾取中间
  3. 交叉相乘再相减

三垂线定理 #

设 $m\in\alpha$,$n$ 在 $\alpha$ 上的投影为 $n'$

$$m\bot n’\eq m\bot n$$

tip

垂影必垂斜,垂斜必垂影。

三余弦定理 #

$OH$ 是 $OA$ 在平面 $BOC$ 上的投影。

$$\cos\angle AOC = \cos\angle AOB \cdot \cos\angle BOC$$

三正弦定理 #

$α$ 是二面角。

$$\sin\beta=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

四面体体积公式 #

$$V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{\Delta ABD}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot\sin\theta}{AB}$$

证明

$$V=\frac{S_{\Delta ABC}\cdot DO}{3} =\frac{S_{\Delta ABC}\cdot DE\sin\theta}{3} =\frac{S_{\Delta ABC}\cdot DE\cdot AB\sin\theta}{3AB} =\frac{2S_{\Delta ABC}S_{\Delta ABD}\sin\theta}{3AB}$$

空间正弦定理 #

$$\begin{aligned} \\ \\ \\ \frac{aS_A}{\sin A}=\frac{bS_B}{\sin B}=\frac{cS_C}{\sin C} \end{aligned}$$

$S_A=S_{\Delta DBC},A$ 为二面角 $C-DA-B$,以此类推。

证明

由 四面体体积公式 得

$$V=\frac{2S_AS_B\sin C}{3c}=\frac{2S_BS_C\sin A}{3a}=\frac{2S_AS_C\sin B}{3b}$$

上下分别同乘 $S_C,S_A,S_B$

$$\frac{2S_AS_BS_C\sin C}{3cS_C}=\frac{2S_AS_BS_C\sin A}{3aS_A}=\frac{2S_AS_BS_C\sin B}{3bS_B}$$

约去 $\frac{2S_AS_BS_C}{3}$

$$\frac{\sin C}{cS_C}=\frac{\sin A}{aS_A}=\frac{\sin B}{bS_B}$$

取倒数

$$\frac{aS_A}{\sin A}=\frac{bS_B}{\sin B}=\frac{cS_C}{\sin C}$$

祖暅原理 #

quote

幂势既同,则积不容异。

两几何体在任意高处的截面都相等,则其体积也相等。

$$\forall h,S_1(h)=S_2(h)\intro V_1=V_2$$

可以用微积分直观理解。

$$V=\int S(h)\d h$$