伴侣点

对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若 $x$ 轴的点 $M,N$ 满足 $x_M\cdot x_N=a^2$，则 $M,N$ 互为伴侣点。

过其中任意一个伴侣点作弦 $CD$，均可产生等角。

$M,N$ 为伴侣点 $\intro k_{CN}+k_{DN}=0$	$M,N$ 为伴侣点 $\intro k_{CM}+k_{DM}=0$

证明：设 $CD$ 斜率为 $k$，暴力计算求证。

由 极点极线方程 知识易得 $M,N$ 互极。

$$\frac{x_Mx_N}{a^2}+\frac{y_My_N}{b^2}=\frac{a^2}{a^2}=1$$

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$E(-m,0),F(m,0),Q(\frac{a^2}{m},0)$。

• $y_M\cdot y_N=b^2\left(1-\frac{a^2}{m^2}\right)$
• $k_{BM}\cdot k_{BN}=\frac{m-a}{m+a}(e^2-1)$
• $k_{EM}\cdot k_{FN}=\frac{-b^2}{m^2+a^2}$
• $\vec{EM}\cdot\vec{FN}=\frac{(a^2-m^2)(a^2+m^2-b^2)}{m^2}$
• $\vec{FM}\cdot\vec{FN}=\frac{(a^2-m^2)(a^2-m^2+b^2)}{m^2}$
• $\vec{AN}\cdot\vec{BM}=\frac{(a^2-m^2)(a^2-b^2)}{m^2}$
• $\vec{FN}\cdot\vec{BM}=\frac{(a^2-m^2)(a^2+am-b^2)}{m^2}$

统一的证明方法：设 $P$ 坐标，暴力计算求证。

对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$M,N$ 为伴侣点 $\eq x_M\cdot x_N=a^2$。

对于抛物线 $y^2=2px$，$M,N$ 为伴侣点 $\eq x_M+x_N=0$。