最短路径

简介 #

现在给你 $n$ 个节点(编号为 $1\sim n$)和它们之间的边长,求任意两个节点之间的最短路径.

松弛操作 #

使用 邻接矩阵 $g$ 存图.如果 $g[i,k] + g[k,j] < g[i,j]$,则路径 $i→k→j$ 比原先 $i→j$ 的路径更短,那么就令 $g[i,j] = g[i,k] + g[k,j]$.这就是松弛操作.

Floyed 算法 #

一开始,我们将所有节点全部拨到图外面,然后按 $1$ 号到 $n$ 号顺序依次往图中加入节点.

$g[k,i,j]$:当图中已经加入了 $1 \sim k$ 号节点时,从节点 $i$ 到 $j$ 的最短路径.

当节点 $k$ 被加入图中时,枚举节点 $i$ 和 $j$,利用新加入的 $k$ 对路径 $i-j$ 进行 松弛操作:

  • 若路径 $i-j$ 不经过节点 $k$,则 $g[k,i,j] = g[k - 1,i,j]$;

  • 若路径 $i-j$ 经过节点 $k$,则 $g[k,i,j] = g[k - 1,i,k] + g[k - 1,k,j]$.

$$g[k,i,j] = \min(g[k - 1,i,j], g[k - 1,i,k] + g[k - 1,k,j])$$

for(int k = 1; k <= n; k ++)
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            g[k][i][j] = min(g[k - 1][i][j], g[k - 1][i][k] + g[k - 1][k][j]);

实际上,$g$ 数组的第一维不影响结果,可以摘掉.

for(int k = 1; k <= n; k ++)
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);

Floyed 算法适用于任何图,但图中必须存在最短路.时间复杂度为 $O(n^3)$.

Bellman-Ford 算法 #

Bellman-Ford 算法是基于 Floyed 算法的优化版本,但是只能处理单源最短路径:每跑一次 Bellman-Ford 算法,都需要给定源节点 $s$,并且只能求得 $s$ 到其它节点的最短路.

Floyed 枚举节点的效率太低,于是 Bellman-Ford 改为枚举边.

$n$ 个节点 $m$ 条边的图中,如果存在最短路径,则最短路径所包含的边数 $≤ n-1$.故每条路最多被松弛 $n-1$ 次.$dis[i]$ 表示 $s→i$ 的最短路长度,初始时要设为无穷大.

时间复杂度为 $O(nm)$.

void bellman_ford(int s) {
    memset(dis, 0x7f, sizeof dis);
    for(int i = 1; i < n; i ++) // 松弛 n - 1 次
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            dis[to[j]] = min(dis[to[j]], dis[from[j]] + len[j]);
}

判断负权回路 #

若图中存在长度为负数的 回路,则此回路称为 负权回路(负环).有负权回路的图不存在最短路.

使用 Bellman-Ford 算法时,如果一条路径被松弛了 $n$ 次及以上,则一定存在负权回路.

bool check(int s) {
    memset(dis, 0x7f, sizeof dis);
    for(int i = 1; i < n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            dis[to[j]] = min(dis[to[j]], dis[from[j]] + len[j]);
    for(int j = 1; j <= m; j ++)
        if(dis[to[j]] > dis[from[j]] + len[j])
            return false; // 松弛了 n - 1 次后,还能进行松弛操作,则存在负权回路
    return true;
}

SPFA 算法 #

SPFA 算法是 Bellman-Ford 算法的队列优化版本.只有上一次被松弛的节点的出边,才有可能引起下一次的松弛操作.每次取队首节点,对其出边进行松弛,将松弛到的节点加入队列.时间复杂度为 $O(kn)$.平均情况下,$k$ 为 $(1,2)$ 中的常数.

const int N = 1e6;
bool in[N], dis[N]; // in[i]: u 是否在栈中 
struct node {
    int val, len;
};
vector<int> g[N]; // g[u]: u 节点的邻接节点集合

void spfa(int s) {
    memset(in, false, sizeof in);
    memset(dis, 0x7f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    queue<int> Q;
    Q.push(s), in[s] = true;
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop(), in[u] = false;
        for(int i = 0; i < (int) g[u].size(); i ++) {
            int v = g[u][i].val;
            int d = g[u][i].len;
            if(dis[v] > dis[u] + d) {
                dis[v] = dis[u] + d;
                if(!in[v]) { // 已经在栈里的节点没必要再进栈一次
                    Q.push(v), in[v] = true;
                }
            }
        }
    }
}

判断负权回路 #

const int N = 1e6;
bool in[N], dis[N], relax[N]; // relax[u]: dis[u] 被松弛的次数
struct node {
    int val, len;
};
vector<int> g[N];

bool spfa(int s) {
    memset(in, false, sizeof in);
    memset(dis, 0x7f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    queue<int> Q;
    Q.push(s), in[s] = true;
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop(), in[u] = false;
        for(int i = 0; i < (int) g[u].size(); i ++) {
            int v = g[u][i].val;
            int d = g[u][i].len;
            if(dis[v] > dis[u] + d) {
                dis[v] = dis[u] + d;
                if(++ relax[v] >= n) // 松弛了 n 次及以上,存在负权回路
                    return false;
                if(!in[v]) {
                    Q.push(v), in[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

Dijkstra 算法 #

从节点 $s$ 出发.首先把所有节点分成两个集合:已确定最短路长度的,和未确定的.一开始只有 $s$ 在第一个集合,且 $dis[s] = 0,dis[$ 除 $s$ 以外的其他节点 $]=∞$.

重复以下操作直到第二个集合中没有节点:

  1. 松弛刚加入第一个集合的节点的所有出边.

  2. 从第二个集合中,选取 $dis$ 值最小的节点,加入第一个集合.

只能处理单源最短路径,不能处理负权路径.时间复杂度为 $O(n^2)$.

const int N = 1e6;
int avl[N], dis[N];

void dijkstra(int s) {
    memset(avl, true, sizeof avl);
    memset(dis, 0x7f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int minn = INF, minp = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            if(avl[j] && dis[j] < minn)
                minn = dis[j], minp = j;
        if(!minp) continue;
        avl[minp] = false;
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            if(avl[j] && dis[j] > minn + g[minp][j])
                dis[j] = minn + g[minp][j];
    }
}